В.Р. Сабанин, Н.И. Смирнов, А.И. Репин

Московский энергетический институт (технический университет),Москва, Россия



ОПТИМИЗАЦИЯ НАСТРОЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В АСР


АННОТАЦИЯ


Рассматривается возможность использования симплекс-метода деформируемого многогранника Нелдера-Мида для оптимизации настроечных параметров регулирующих устройств в автоматических системах регулирования. Приводятся некоторые результаты исследования на примере одноконтурной АСР с ПИ-регулятором.


1. ВВЕДЕНИЕ


Соответствующий подбор или расчет настроечных параметров регулирующих устройств, обеспечивающих экстремум выбранного критерия качества для конкретного объекта регулирования при соблюдении ограничения на заданный запаса устойчивости, составляет основное содержание задачи синтеза АСР.

Сложность такой оптимизационной задачи в первую очередь зависит от применяемых в регулирующих устройствах алгоритмов функционирования и от структуры системы. Это могут быть как одноконтурные АСР так и многоконтурные системы с введением добавочных переменных состояния объекта, системы с компенсацией возмущений и многомерные АСР [1], а также нейросетевые системы управления [2].

Известные аналитические методы оптимального синтеза АСР как правило хорошо формализованы и доступны для практического использования. Однако увеличение числа оптимизируемых настроечных параметров регулирующего устройства по мере усложнения его алгоритма функционирования и структуры в значительной степени усложняет поставленную задачу, делая результат решения обоснованным лишь при определенных ограничениях и допускаемых приемах декомпозиции.

В связи с этим целесообразность использования для решения подобных задач поисковых методов оптимизации становится очевидной.


2. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ


Одним из таких методов является симплекс-метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида [3]. Универсальная программная реализация такого алгоритма для оптимизации многопараметрических функций в среде MathCAD представлена в [4].

Там же рассмотрены примеры её использования для решения различных оптимизационных задач, включая задачу параметрической идентификации математической модели объекта.

Особенность предлагаемого метода заключается в том, что помимо поиска вершин нового симплекса он предусматривает растяжение или сжатие ребер. За счет этого алгоритм адаптируется к поверхности отклика, а введение ограничения на степень затухания в виде функции штрафа обеспечивает ему целенаправленное движение, при котором достигается минимум унимодальной функции вида:

(1)

(2)

где - соответственно, линейный интеграл и интеграл по модулю от регулируемого параметра на интервале переходного процесса; - настроечные параметры регулирующего устройства; - соответственно, заданная степень затухания и текущая в процессе движения целевой функции к минимуму; , - масштабные коэффициенты штрафной функции, подбираемые индивидуально для исследуемой системы регулирования.

Процедура оптимизации, как показали расчеты одноконтурной АСР, двухконтурной АСР с дифференциатором [5] и нейросетевой системы управления с различной структурой нейроконтроллера [6] осуществляла устойчивый целенаправленный поиск вектора настроечных параметров , обеспечивающих движение выбранной целевой функции к её минимальному значению.

Линейный интегральный критерий , как правило, используется в аналитических методах расчета, поскольку он сравнительно легко вычисляется по частотным характеристикам АСР. Однако с точки зрения адекватного отображения качества в широком диапазоне настроечных параметров регулирующего устройства наиболее представительным является интеграл по модулю.

Использование в качестве показателя запаса устойчивости степени затухания вместо косвенных показателей, таких как степень колебательности m и показатель колебательности M, предпочтительнее поскольку степень затухания может быть определена непосредственно из переходного процесса при имитационном моделировании АСР.

Однако несмотря на очевидную простоту поставленной задачи, требуется значительный по объему численный анализ пространства целевой функции, многократное вычисление переходных процессов в замкнутой АСР, расчет и анализ выбранных показателей качества и запаса устойчивости. Все необходимые расчеты могут быть сравнительно просто выполнены на базе имитационных моделей, основанных на известных, широко используемых вычислительных процедурах [4].

Таблица 1.
Шаг ПИ-регулятор Состояние симплекса
--- 1.000 0.0500 23.506 0.958 Начальная точка
--- 1.000 0.0500 23.506 0.958 Исходный симплекс
--- 1.100 0.0500 22.838 0.947
--- 1.000 0.0550 20.893 0.945
1 1.100 0.0550 20.770 0.943 Отражение
2 1.150 0.0575 19.460 0.934 Растяжение
3 1.050 0.0625 16.996 0.916 Отражение
4 1.025 0.0687 15.310 0.887 Растяжение
5 1.175 0.0712 15.280 0.879 Отражение
6 1.262 0.0790 16.150 0.840 Растяжение
7 1.050 0.0825 17.680 0.800 Отражение
8 1.075 0.0760 16.160 0.849 Сжатие
9 1.125 0.0637 16.400 0.910 Отражение
10 1.087 0.0730 15.630 0.867 Сжатие
11 1.112 0.0668 15.046 0.898 Отражение
12 1.125 0.0637 16.400 0.91 Растяжение
13 1.262 0.0693 15.110 0.888 Отражение
14 1.200 0.0650 15.800 0.906 Сжатие
--- --- --- --- --- ---
51 1.202 0.0666 15.000 0.900 Конечная точка

Применение предлагаемого метода к поиску оптимальных настроечных параметров ПИ-регулятора в одноконтурной АСР дало результаты, практически совпадающие с результатами, полученными по известным аналитическим методам.

Параметры исходного симплекса и его трансформация в процессе движения к минимуму критерия вида (1) при зд = 0.9 для объекта с передаточной функцией

(3)

и ПИ-регулятора приведены в табл.1.

Реализация алгоритма деформируемого многогранника, далее АДМ, может быть представлена последовательностью операций:
- выбор исходной точки в пространстве настроечных параметров и создание начального симплекса;
- вычисление значений целевой функции в вершинах симплекса с последующим выбором наихудшего и наилучшего её значений;
- выполнение операции отражения с осуществлением, в зависимости от результата, растяжения или сжатия симплекса;
- проверка условия сходимости вычислительной процедуры и в соответствии с результатом продолжение цикла или вывод полученных настроек.

Алгоритм обладает достаточной гибкостью, позволяющей учитывать локальные топологические свойства поверхности отклика целевой функции, при этом симплексы вытягиваются в направлении наклона поверхностей, а вблизи экстремума сжимаются.

В работе [5] приведены некоторые результаты, полученные при оптимизации этим методом двухконтурной АСР с дифференциатором, а в работе [6] с помощью АДМ определялись настроечные параметры нейроконтроллеров в нейросетевой системе управления.

Среди алгоритмов подобного вида получил развитие метод сеточного поиска [7]. По этому методу исходная область в зависимости от размерности пространства отображаются в виде квадрата, куба или гиперкуба. В этом пространстве строится сетка с последующим вычислением целевой функции в узлах и центрах. Процесс продолжается до достижения требуемой степени сужения интервала неопределенности.

В последнее время для решения оптимизационных многопараметрических задач успешно применяются генетические алгоритмы, в основу которых заложены идеи естественного отбора среди живых организмов [8,9].

Очевидная наглядность поиска минимума в трехмерном пространстве может создать предпосылку, что для многомерного пространства такая задача будет отличаться лишь объемом вычислений. Однако многомерное пространство качественно отличается от трехмерного из-за снижения вероятности гипотезы об унимодальности целевой функции.

Объем вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства. Поскольку при выборе оптимальной структуры сложной АСР приходится иметь дело с четырьмя и более, а в нейросетевых системах управления и с гораздо большим числом переменных, подобные трудности становятся очевидными.


3. ПРИМЕР АНАЛИЗА ОДНОКОНТУРНОЙ АСР С ПИ-РЕГУЛЯТОРОМ


Расчеты, проведенные для сравнительно простого объекта (3) и одноконтурной АСР с ПИ-регулятором, показали, что поверхность отклика даже простейших интегральных критериев качества в пространстве настроечных параметров имеет достаточно сложный вид (рис.1).

Для всех интегральных критериев в плоскости настроечных параметрах регулятора наблюдаются области с минимальными значениями. Наиболее очевидный и предсказуемый характер имеют квадратичный интеграл (рис. 1, б) и интеграл по модулю (рис 1, в).

Поверхность отклика для линейного интегрального критерия в трехмерном пространстве представлена на рис.2.

Анализ приведенной поверхности показывает, что в неустойчивой зоне качественно изменяется характер поверхности отклика. Из теории известно, что зона гарантированных устойчивых процессов расположена в левом нижнем углу плоскости настроечных параметров. Значения интеграла при движении из нижнего левого угла уменьшаются.

Для практического решения задачи динамической оптимизации интерес представляет левый нижний угол.

Рис.1. Плоскости параметров ПИ-регулятора с линиями равных уровней интегральных показателей качества регулирования а) - линейный; б) - квадратичный; в) - по модулю


Рис.2. Иллюстрация в трехмерном пространстве поверхности отклика для линейного интегрального критерия в АСР с ПИ-регулятором


На рис 3. показана плоскость параметров с линиями отклика для линейного интегрального критерия, на которой нанесены линия границы устойчивости (m=0) и линия заданного запаса устойчивости (m=0.2206).

Рис.3. Целевая функция с ограничениями по устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора


Достаточно хорошо видно, что на линии заданного запаса устойчивости точки с минимальными значениями линейного интегрального критерия находятся вверху. Другими словами, подтверждается аналитическое доказательство, в соответствии с которым минимальное значение соответствует максимуму .

Для квадратичного интеграла и интеграла по модулю оптимальные значения находятся на линии заданного запаса устойчивости правее максимума .

Проведенные исследования показали, что минимальные значения интегралов по модулю при заданной степени затухания расположены в области завышенных значений ТИ, что приводит к затянутости переходного процесса. В этом случае целесообразнее в качестве показателя запаса устойчивости использовать степень перерегулирования a п. В литературе [10] рекомендуется выбирать a п = 0.2, а соответствующие ей переходные процессы называются процессами с 20% перерегулированием.

В заключении следует отметить, что предлагаемый подход открывает большие возможности оптимального синтеза широкого спектра АСР методом имитационного моделирования с использованием самых современных, включая генетические, алгоритмов оптимизации.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985.
2. Narendra K.S., Parthasarathy K. Identification and Control of Dynamical Systems Using Neural Networks// IEEE Transactions of Neural Networks.- 1990. – Vol. 1. – No.1.-P.4-27.
3. Nelder J.A., Mead R., A simplex Method for Function Minimization, Computer J., No. 7, 1964 pp. 308-313.
4. Сабанин В.Р. , Смирнов Н.И. Расчеты автоматических систем регулирования в теплоэнергетике. М.: Издательство МЭИ, 2002.
5. Смирнов Н.И., Сабанин В.Р., Репин А.И. Оптимизация настроек автоматических систем регулирования с дифференциатором // Сборник трудов конференции “Control 2003”. М.: Издательство МЭИ, 2003.
6. Сабанин В.Р., Смирнов Н.И., Репин А.И. Автоматические системы регулирования на основе нейросетевых технологий // Сборник трудов конференции “Control 2003”. М.: Издательство МЭИ, 2003.
7. Mischke C.R., An Introduction to Computer-Aided Design, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1968.
8. Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search Optimizations and Machine Learning.-Addison.Wesly, 1989.
9. Сабанин В.Р., Смирнов Н.И., Репин А.И. Оптимальный синтез АСР методом имитационного моделирования с использованием генетических алгоритмов оптимизации // Сборник трудов конференции “ИММОД 2003”. Санкт-Петербург.: ФГУП ЦНИИ технологии судостроения, 2003.
10.Копелович А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов. М.: Металлургиздат, 1960.